记一道阿里笔试题:我是如何用一行代码解决约瑟夫环问题的

来自:苦逼的码农(微信号:di201805),作者:帅地

有一次面试的时候,被问到进程之间有哪些通信方式,不过由于之前没

约瑟夫环问题算是很经典的题了,估计大家都听说过,然后我就在一次笔试中遇到了,下面我就用 3 种方法来详细讲解一下这道题,最后一种方法学了之后保证让你可以让你装逼。

问题描述:编号为 1-N 的 N 个士兵围坐在一起形成一个圆圈,从编号为 1 的士兵开始依次报数(1,2,3…这样依次报),数到 m 的 士兵会被杀死出列,之后的士兵再从 1 开始报数。直到最后剩下一士兵,求这个士兵的编号。

1、方法一:数组

在大一第一次遇到这个题的时候,我是用数组做的,我猜绝大多数人也都知道怎么做。方法是这样的:

用一个数组来存放 1,2,3 … n 这 n 个编号,如图(这里我们假设n = 6, m = 3)


然后不停着遍历数组,对于被选中的编号,我们就做一个标记,例如编号 arr[2] = 3 被选中了,那么我们可以做一个标记,例如让 arr[2] = -1,来表示 arr[2] 存放的编号已经出局的了。

然后就按照这种方法,不停着遍历数组,不停着做标记,直到数组中只有一个元素是非 -1 的,这样,剩下的那个元素就是我们要找的元素了。我演示一下吧:

这种方法简单吗?思路简单,但是编码却没那么简单,临界条件特别多,每次遍历到数组最后一个元素的时候,还得重新设置下标为 0,并且遍历的时候还得判断该元素时候是否是 -1。感兴趣的可以动手写一下代码,用这种数组的方式做,千万不要觉得很简单,编码这个过程还是挺考验人的。

这种做法的时间复杂度是 O(n * m), 空间复杂度是 O(n);

2、方法二:环形链表

学过链表的人,估计都会用链表来处理约瑟夫环问题,用链表来处理其实和上面处理的思路差不多,只是用链表来处理的时候,对于被选中的编号,不再是做标记,而是直接移除,因为从链表移除一个元素的时间复杂度很低,为 O(1)。当然,上面数组的方法你也可以采用移除的方式,不过数组移除的时间复杂度为 O(n)。所以采用链表的解决方法如下:

1、先创建一个环形链表来存放元素:

2、然后一边遍历链表一遍删除,直到链表只剩下一个节点,我这里就不全部演示了

代码如下:

//?定义链表节点
class?Node{
????int?date;
????Node?next;

????public?Node(int?date)?{
????????this.date?=?date;
????}
}

核心代码

????public?static?int?solve(int?n,?int?m)?{
????????if(m?==?1?||?n?2)
????????????return?n;
????????//?创建环形链表
????????Node?head?=?createLinkedList(n);
????????//?遍历删除
????????int?count?=?1;
????????Node?cur?=?head;
????????Node?pre?=?null;//前驱节点
????????while?(head.next?!=?head)?{
????????????//?删除节点
????????????if?(count?==?m)?{
????????????????count?=?1;
????????????????pre.next?=?cur.next;
????????????????cur?=?pre.next;
????????????}?else?{
????????????????count++;
????????????????pre?=?cur;
????????????????cur?=?cur.next;
????????????}
????????}
????????return?head.date;
????}

????static?Node?createLinkedList(int?n)?{
????????Node?head?=?new?Node(1);
????????Node?next?=?head;
????????for?(int?i?=?2;?i?<=?n;?i++)?{
????????????Node?tmp?=?new?Node(i);
????????????next.next?=?tmp;
????????????next?=?next.next;
????????}
????????//?头尾串联
????????next.next?=?head;
????????return?head;
????}

这种方法估计是最多人用的,时间复杂度为 O(n * m),空间复杂度是 O(n)。

还有更好的方法吗?答有,请往下看

方法三:递归

其实这道题还可以用递归来解决,递归是思路是每次我们删除了某一个士兵之后,我们就对这些士兵重新编号,然后我们的难点就是找出删除前和删除后士兵编号的映射关系

我们定义递归函数 f(n,m) 的返回结果是存活士兵的编号,显然当 n = 1 时,f(n, m) = 1。假如我们能够找出 f(n,m) 和 f(n-1,m) 之间的关系的话,我们就可以用递归的方式来解决了。我们假设人员数为 n, 报数到 m 的人就自杀。则刚开始的编号为


1

m - 2

m - 1

m

m + 1

m + 2

n

进行了一次删除之后,删除了编号为 m 的节点。删除之后,就只剩下 n - 1 个节点了,删除前和删除之后的编号转换关系为:

删除前 ? ? --- ? ? 删除后

… ? ? ? ? ?--- ? ? ?…

m - 2 ? ? --- ? ? n - 2

m - 1 ? ?--- ? ? ?n - 1

m ? ? ? ? ---- ? ?无(因为编号被删除了)

m + 1 ? ? --- ? ? 1(因为下次就从这里报数了)

m + 2 ? ? ---- ? ? 2

… ? ? ? ? ---- ? ? ? ? …

新的环中只有 n - 1 个节点。且删除前编号为 m + 1, m + 2, m + 3 的节点成了删除后编号为 1, 2, 3 的节点。

假设 old 为删除之前的节点编号, new 为删除了一个节点之后的编号,则 old 与 new 之间的关系为 old = (new + m - 1) % n + 1。

这样,我们就得出 f(n, m) 与 f(n - 1, m)之间的关系了,而 f(1, m) = 1.所以我们可以采用递归的方式来做。代码如下:

注:有些人可能会疑惑为什么不是 old = (new + m ) % n 呢?主要是因为编号是从 1 开始的,而不是从 0 开始的。如果 new + m == n的话,会导致最后的计算结果为 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1.

int?f(int?n,?int?m){
????if(n?==?1)???return?n;
????return?(f(n?-?1,?m)?+?m?-?1)?%?n?+?1;
}

我去,两行代码搞定,而且时间复杂度是 O(n),空间复杂度是O(1),牛逼!那如果你想跟别人说,我想一行代码解决约瑟夫问题呢?答是没问题的,如下:

int?f(int?n,?int?m){
????return?n?==?1???n?:?(f(n?-?1,?m)?+?m?-?1)?%?n?+?1;
}

卧槽,以后面试官让你手写约瑟夫问题,你就扔这一行代码给它。

总结

不过那次笔试时,并没有用递归的方法做,而是用链表的方式做,,,,,那时,不知道原来还能用一行代码搞定的,,,,欢迎各位大佬提供半行代码搞定的方法!

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